Fra Keplers noter om kuglepakning.

Livet som matematiker var anderledes for nogle hundrede år siden. 1600-tallets matematikere nøjedes ikke med at sidde ved skrivepulten og lave beviser — de tjente under konger og fyrster, og var uundværlige når man skulle kende banen for en flyvende kanonkugle eller tegne kort over ukendt land. En af tidens største naturvidenskabsmænd var Johannes Kepler, der arbejdede sammen med Tycho Brahe og blandt meget andet påviste, at planeter kredser om solen i ellipse-formede baner. I år 1611 stillede han spørgsmålet: Hvordan skal jeg stable mine kanonkugler, så de fylder mindst muligt? I år, godt og vel 400 år senere, har nutidens matematikere endelig givet et svar på det spørgsmål.

Inden man læser videre er her en opfordring til selv at lege med problemet: Forestil dig at du skal fylde en stor tønde med kanonkugler, og at der skal være så lidt luft i tønden som muligt. Du har givetvis ikke en stak kanonkugler i nærheden, men mindre kan også gøre det: En samling glaskugler, eller et net appelsiner, for eksempel. Den mest oplagte stabling er måske at lægge nederste lag kugler i et kvadratisk gitter, lægge en ny kugle direkte ovenpå hver kugle i nederste lag, og fortsætte sådan. Ved at pakke kuglerne på denne måde får man en pakningstæthed på 52% — hvilket bare betyder at 52%, eller lige godt halvdelen, af tøndens rumfang fyldes af kugler, og resten af luft. Der skal ikke meget fantasi til at se, at det kan gøres bedre: Tag lag nr. 2 og flyt det lidt, så hver kugle nu hviler i fordybningerne mellem kuglerne i lag 1. Fortsæt på samme måde med at lægge kuglerne i det nye lag i fordybningerne i det foregående. Denne pakning kaldes cubic close packing, og er den grønthandlere bruger når de stabler appelsiner. Kepler viste, at pakningstætheden for denne pakning er omkring 74%, og dermed væsentligt bedre end vores første forsøg. Kepler foreslog også noget mere radikalt: Denne pakning var faktisk den bedst mulige! Med andre ord: lige meget hvilken anden pakning man forsøgte sig med, ville pakningstætheden højst være de 74% man også får ved bruge cubic close packing.

Kepler gik dog ikke så langt som til at føre bevis for sin påstand. Og man kan måske forstå hvorfor: Hvordan kan man sige noget meningsfuldt om alle mulige pakninger? En ting er alle de symmetriske, rigide pakninger som de to ovenfor — noget andet er alle de uendelige mange tilfældige pakninger, vi kan lave ved at hælde kugler tilfældigt ned i tønden. Et bevis for Keplers påstand skal kunne håndtere alle disse pakninger på en gang. Et første stort skridt blev taget af den ungarske matematiker Fejes Tóth i 1953. Toth opstillede en ligning, og viste at løsningen til denne ligning var den maksimale
pakningstæthed. Med andre ord: Lige meget hvilken pakning man finder på, vil dens tæthed være mindre end løsningen til ligningen. Hvis Fejes Tóth nu blot kunne løse ligningen, og vise at løsningen var de 74% man opnåede med cubic close packing, ville Keplers formodning være vist. Problemet var bare, at Toths ligning var kompliceret. Meget, meget kompliceret. Skulle man løse ligningen, krævede det voldsomme mængder computerkraft, og i 1953 kunne en computer på størrelse med en kummefryser knap nok lægge to tal sammen. Heldigvis er vi kommet et stykke siden da. I løbet af 1990’erne lykkedes det matematikeren Thomas Hales at skrive et computerprogram, der kunne løse Toths ligning. På vejen skulle programmet løse over 100.000 mindre ligninger, og resultaterne af Hales’ udregninger endte med at fylde over 3 gigabyte. Og derefter skulle programmet tjekkes for fejl, ligesom matematiske artikler bliver tjekket for fejl inden de sendes i trykken. Normalt bliver matematiske resultater gennemrettet af kolleger, inden de bliver udgivet — men hvordan tjekker man 3 gigabyte programkode for fejl? Man skriver et mindre program, der kan tjekke det store programs korrekthed! Teknikken kaldes
automated proof checking, og er en af de mere revolutionerende ideer matematikken har set de sidste årtier. Det svarer — meget groft — til, at jeg ikke selv tjekker denne artikel igennem for stavefejl, men lader stavekontrollen gøre det — og samtidig lader stavekontrollen tjekke min grammatik, min kommatering, mine kilder og at det jeg skriver ellers giver mening…

Historien fik sin ende i juni i år, hvor et anerkendt matematik-tidsskrift accepter Hales’ artikel og hans løsnings-programmer. Og ja: Kepler havde ret. Ingen pakning er bedre end
cubic close packing. Men at det skulle tage 400 år at få fuldstændig vished, havde Kepler nok ikke regnet med.

DEL
Tidligere artikelMagtfordeling i Danmark

SVAR